questions sur les séries numériques

questions sur les séries numériques - Aide aux devoirs - Emploi & Etudes

Marsh Posté le 21-06-2006 à 15:46:00    

Salut a tous j'ai qques tites questions sur les séries numériques.
 
Comment on étudie la convergence d'une série contenant un cosinus ou un sinus.
Ex: somme (n^4.cos 2n)/3^n .
 
Est ce que l'on considère que le cosinus se comporte comme une série alternée? Ca serait donc équivalent a somme ( (-1)^n . n^4/3^n) ?
 
Je suis un peu perdu pour cela.
 
Et sinon pour le developpement limité en série entière de ln(1+x²) est ce que l'on pose t=x² et a ce moment la on obtient
ln(1+x²) = somme ( (-1)^n . x^2n/n ) ?
 
Merci de m'éclairer en tt cas.

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Marsh Posté le 21-06-2006 à 15:46:00   

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Marsh Posté le 21-06-2006 à 16:22:09    

Citation :

Comment on étudie la convergence d'une série contenant un cosinus ou un sinus.
Ex: somme (n^4.cos 2n)/3^n .
 
Est ce que l'on considère que le cosinus se comporte comme une série alternée? Ca serait donc équivalent a somme ( (-1)^n . n^4/3^n) ?
 
Je suis un peu perdu pour cela.


 
ben on n'a pas vraiment d'équivalent pour le cosinus en l'infini, donc ici c'est pas vraiment ça qu'il faut utiliser :o pour voir si une série converge, faut déjà voir si les termes deviennent "suffisament petits". regarde ce qu'il y a en dehors du cos(2n) : n^4/3^n. quand n tend vers l'infini, n^4 c'est gros, mais 3^n c'est vraiment beaucoup plus gros, ça croit de manière exponentielle, et ça écrase tous les polynômes. si on peut comparer ça à un terme de série convergente, alors on aura gagné. on peut par exemple montrer que c'est un o(1/n²), c'est à dire 1/n² * (un machin qui tend vers 0). pour ça, ben suffit de faire apparaître du 1/n² : n^4/3^n = (1/n²) * (n^6/3^n). et hop, c'est dans la poche.
 
bon maintenant, reste encore le cosinus. mais comment est ce qu'il compte, qu'est ce qu'il apporte niveau "grandeur" ? ben étant donné que c'est borné, c'est pas lui qui va rendre le tout fondamentalement plus grand. on exprime ça en majorant le cosinus en valeur absolue : n^4*|cos(2n)|/3^n <= n^4/3^n, qui est un terme général de série convergente comme on l'a vu juste avant, donc ça fait que ta série converge :o
 

Citation :

Et sinon pour le developpement limité en série entière de ln(1+x²) est ce que l'on pose t=x² et a ce moment la on obtient
ln(1+x²) = somme ( (-1)^n . x^2n/n ) ?
 
Merci de m'éclairer en tt cas.


 
euh faut pas confondre développement en série entière et développement limité :o y en a un qui s'arrête à un moment, et l'autre si tu as le développement en série entière, alors tu as le développement limité, mais l'inverse est pas forcément vrai (suffit de prendre un machin à base de exp(-1/x) qui va avoir toutes ses dérivées nulles en 0, le DL en 0 existera bien, mais ça va donner un développement en série entière qui ne correspond à la fonction qu'en 0 :D). ceci dit, si tu poses t = x², ton truc marche tout à fait, faut juste faire gaffe au rayon de convergence qui va évoluer en conséquence : si tu avais un rayon de convergence égal à R en t (stadire que ça converge pour t < R), alors tu vas récupérer un rayon égal à racine(R) (puisque ça converge pour x² < R, donc x < racine(R)). ici, vu que le rayon est 1, ça change rien, mais sur d'autres exemples faudrait y faire gaffe :o


Message édité par double clic le 21-06-2006 à 16:23:11

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Tell me why all the clowns have gone.
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Marsh Posté le 21-06-2006 à 16:27:37    

olivier chiabodo a écrit :

Salut a tous j'ai qques tites questions sur les séries numériques.
 
Comment on étudie la convergence d'une série contenant un cosinus ou un sinus.
Ex: somme (n^4.cos 2n)/3^n .
 
Est ce que l'on considère que le cosinus se comporte comme une série alternée? Ca serait donc équivalent a somme ( (-1)^n . n^4/3^n) ?
 
Je suis un peu perdu pour cela.
 
Et sinon pour le developpement limité en série entière de ln(1+x²) est ce que l'on pose t=x² et a ce moment la on obtient
ln(1+x²) = somme ( (-1)^n . x^2n/n ) ?
 
Merci de m'éclairer en tt cas.


 
 
pour le premier tu peux étudier la convergence absolue.
Pour le second effectivement tu peux trouver un dse en 0 de ln(1+x²) en posant t=x²;ceci dit celà revient à déterminer un nouveau rayon de convergence R' compte tenu du changement de variable


Message édité par juliansolo le 21-06-2006 à 16:30:54
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Marsh Posté le 21-06-2006 à 16:53:41    

Sinon tu peux penser à la transformation d'abel quand y'a du cosinus dans l'air, là c'est pas la peine, suffit de majorer le cos par 1...

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