Bonjour,
Je suis nul en science et je viens de découvrir le concept d'"axiome de choix" ; Alors je souhaiterais tout savoir sur, sous, contre ce concept.
 
S'il vous plait.
Merci pour votre contribution.

preum's

Tu parles de ceci :
 
http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix
 
?

 
Oui.

 
Donc nul en maths et tu veux une explication vulgarisée sans les expressions mathématiques incompréhensible ?
 
Moi aussi, et l'histoire des chaussettes dans le lien est un bon exemple.
 
 
 
 
 

 
Oui, j'ai compris l'histoire des chaussettes.
Malgré le fait que je soit nul en maths je m'interroge sur les moyens d'appliquer cette fonction.
Ce n'est pas en affirmant qu'il existe une fonction choix que celle ci se produit spontanément.
Je cherche à savoir comment se produit un choix. Comme l'axiome dit il existe... Je demande à voir.

Questionnements (source : futura sciences  ) qui vont dans mon sens  :  
 
"On appelle donc "axiome de choix" la démarche de choisir à tel ou tel moment un axiome qui justifie une relation entre les autres axiomes ou ensemble ?"  
 
L'axiome du choix, c'est quelque chose qui t'autorise a faire une infinité de choix simultané.
 
 
Je ne comprends pas bien cette infinité de choix simultané.
 
 
 

L'axiome du choix porte uniquement sur le choix d'éléments dans des ensembles. Il peut se traduire par : un produit infini d'ensembles non vides est non vide. Il vient compléter l'axiomatique de ZF (donc si on ne la connait pas c'est déjà assez limite de s'y intéresser).
 
Prenons une infinité d'ensembles non vides (il peuvent être finis, par exemple ça peut être des paires de chaussettes) : si on admet l'axiome du choix on peut dire "soit X appartenant au produit de ces ensembles". Si on admet pas l'axiome du choix on ne peut pas.
 
Il faut bien voire que dire "soit x dans un ensemble K" c'est faire un choix, même s'il n'est pas explicite. Quand on a la possibilité d'utiliser une fonction de choix explicite (cas d'une infinité de paire de chaussures, par exemple : "on prends toutes les chaussures gauches", ce qui constitue un choix précis) alors l'axiome ne sert à rien.
 
Sachant que l'essentiel de l'arithmétique peut se passer de l'axiome du choix (c'est à dire reste vrai avec ou sans l'axiome), ce n'est pas un grand malheur que d'avoir du mal à le comprendre. Il aurait un nom moins sexy, tout le monde s'en foutrait (en dehors des mathématiciens, et encore, pas de tous).
 
Il existe une version faible de l'axiome du choix : un produit dénombrable d'ensembles non vides est non vide (donc on se limite à une "petite" infinité). Elle sert quand on ne veut pas utiliser l'artillerie lourde.

...Three years later...
 
"Sachant que l'essentiel de l'arithmétique peut se passer de l'axiome du choix (c'est à dire reste vrai avec ou sans l'axiome), ce n'est pas un grand malheur que d'avoir du mal à le comprendre. Il aurait un nom moins sexy, tout le monde s'en foutrait (en dehors des mathématiciens, et encore, pas de tous)."
 
-->et l'existence d'une base pour les EV, tu la sors de ton zlip ?? C'est important quand même... (mais pas de l'arithmétique, OK)
 
@jovalise si tu existe encore, un peu de lecture :
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ [...] _261_1.pdf
 
Dire "il existe un truc qui vérifie A" en maths, c'est pas aussi simple que ça en a l'air, et c'est très différent de "il existe un truc qui vérifie A donc je peux en choisir un : tenez, voilà un exemple".
 
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Illustration par un théorème niveau lycée (rappel : en gros nombre rationnel = fraction -> 22/7 est rationnel, pas pi qui est donc dit irrationnel) :
"Il existe deux nombres irrationnels a et b tels que a^b soit rationnel" --> Ce théorème est vrai et démontré.
Mais si je fais ça comme démo :
Hypothèses : posons a=b=sqrt(2) (sqrt c'est un raccourci pour "square root", c'est à dire racine carré. On a donc a²=b²=2). a et b sont irrationnels (théorème connu, pas difficile).
 
Maintenant, soit c=a^b. Soit c est rationnel, soit il est irrationnel.
S'il est rationnel, j'ai démontré le théorème
S'il est irrationnel, je prends d=a^c=sqrt(2)^[sqrt(2)^sqrt(2)]=sqrt(2)^2=2. d est donc rationnel et j'ai démontré le théorème
 
Conclusion : la démo montre que le théorème est vrai : il existe patati... mais je ne peux pas, concrètement, exhiber d'exemple !  
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Ca paraît bizarre non . Bon, il existe des démos (mais plus niveau lycée), pour trouver des a et b "explicites" pour ce théorème.
Cette difficulté conceptuelle (démontrer l'existence de chose, sans exhiber d'exemple) a fait l'objet du travail des mathématiciens/logiciens "intuitionnistes", qui voulait ne faire que des preuves constructives . Ils refusaient donc la démo ci-dessus. En fait ils refusent l'axiome logique de base qui la sous-tend : P ou non(P).
 
Pas de problème pour autant, ils sont tous réconciliés, on aboutit aux mêmes résultats quelle que soit l'approche .
 
Voilà, c'est pas directement en lien avec l'axiome du choix ma digression, mais les idées sous-jacentes se ressemblent.
 
A dans trois ans.

Il faut prendre d = c^a