Comment montrer que p divise ( k parmi p ) pour 1 <ou= k <ou= p -1
 
 
Merci d'avance

Je suppose que p premier ici.
k! x (k parmi p) = p(p-1)...(p-k+1) donc p divise k!(k parmi p).
Or 1=<k=<p-1 et [p premier => p premier avec 1,2,3,...p-1].
D'après Gauss p divise (k parmi p).

Merci bp dans une question à la suite de mon dm la numéro 7 je dois déduire à l'aide du de la formule du binome de newton que pour a et b entier on a :
 
( a + b)^p  congru a^p + b^p modulo p  
 
 
je c pa tro comment faire , tu serai m'aidé ?
 
Jte remercie j'arrive  àla fin de ce dm cauchemardesque

1) La dem marche si p est premier, mais si p est non premier, tu peux essayer par récurrence sur p(>=3), la ppté étant :
" k divise (k parmi p) pour tout k dans [2,p-1] " et en utilisant la relation du triangle de Pascal et en remarquant que c'est évident si k=1
2) utilise le résultat que tu viens de démontrer et la formule du binome...

On a montré que p divise (k parmi p).
Le binôme de Newton donne (a+b)^p= a^p+Sigma de k=1 à p-1 {(k parmi p)a^p-k b^k} + b^p (tous les termes ont un facteur (k parmi p) sauf quand k=0 et k=p) donc la somme du milieu = 0 [p] donc (a+b)^p=a^p+b^p [p].

ouh merci !!! dernière question la 15ème !
 
Démontrer par récurrence sur n ( n >=1 ) que  n^p congru n modulo p et retrouvé ainsi fermat

quelqu'un serait -il m'aider merci

j'avais pas vu le reste du sujet donc :
 
pour n=1  1^p est congru à 1 modulo p
hyp de récurrence n^p est congru à n modulo p
 
donc selon la question 3   (n+1)^p est congru à n^p + 1^p modulo p
 or n^p est congru à p modulo p
 
donc n^p + 1 est congru à n+1 modulo p
 
le tour est joué