qqn voit comment on montre qu a tout polynome de R3[X] on a des uniques a , b , c ,d tels que :
 
P(10000) = aP(0) + bP(1) + cP(2) +dP(4)

ya pas une histoire de base la dedans ?

Soit P E R4(X), P(X)=a0+a1X^1+a2X^2+a3X^3
 
On a P(0)=a0
     P(1)=a0+a1+a2+a3
     P(2)=a0+2a1+4a2+8a3
     P(4)=a0+4a1+16a2+64a3
 
Je considère R^4, espace vectoriel de dimension 4.
La famille de vecteurs F={(1,0,0,0) (1,1,1,1) (1,2,4,8) (1,4,16,64)} forme une base de cet espace vectoriel.
En effet, en considérant la matrice M formée avec ces vecteurs:
M= 1 1 1 1
     0 1 2 4
     0 1 4 16
     0 1 6 64
 
on montre facilement que det(M)=48 (développement par la première colonne). Donc F forme une base de R^4 car elle est constituée de 4 vecteurs libres de R^4 (det(M) diffférent de 0).
 
Ceci étant montré, P(10000)=a0+10^3a1+10^6a2+10^9a3. On représente P(10000) sous la forme du vecteur V de R^4 suivant: V=(1,10^3,10^6,10^9).
Comme F est une base de R^4, il y a unicité de la décomposition de V dans F={V1;V2;V3;V4}.
Donc il existe des uniques a,b,c et d tels que V=aV1+bV2+cV3+dV4.
 
Je sais pas si c'est très clair mais je pense que c'est juste. L'important était l'introduction de l'espace vectoriel R^4, car on demande de démontrer la propriété pour tout P € R3[X].
Par contre ce qui est été démontré marche pour P(a), quelque soit a (et pas que pour 10000). Alors du coup je sais pas si c'est une feinte pour brouiller les pistes, ou si y'a plus sipmle dans le cas particulier de 10000.

L'important était l'introduction de l'espace vectoriel R^4, car on demande de démontrer la propriété pour tout P € R3[X].  
 
 
 
 
car dim R3[X]=4=dim R^4

 
l'unicté est évidente;maintenant quant à l'existence,voir plus bas(tout polynome de Rn se decompose de maniere unique en une somme de monomes,dans la base (1,X,X²,X3,....Xn-1)

 
Je vois pas le rapport de ce qu'il y a entre parenthèse avec le problème. Evidemment qu'il y a unicité de la décomposition d'un polynome dans la base canonique. Mais il me semble que ça n'a pas de rpport avec ce qu'il y a à démontrer    
Je pense que ma demo est juste, mais je ne dis pas que c'est la plus directe. Cependant jusque là personne n'en a proposé d'autres.
 
PS: au fait, si il y unicité, y'a existence. Donc si pour toi l'unicité est évidente, la démo est triviale! Je pense que tu as malencontreusement inversé unicité et existence  

pour démontrer l'unicité faut séparer existence et unicité, ou procéder par construction non ?

Ben en général l'existence est le plus simple à démontrer, il suffit de trouver un candidat qui convient. L'unicité est elle beaucoup plus compliqué, et nécessite parfois un petit raisonnement pas l'absurde.

Justement en parlant de raisonnement par l'absurde. On pourrait dire qu'il existe plusieurs a,b,c et d et resoudre une equation. On trouverait que quelque soit le polynome a b c et d sont toujours les memes. J'dis ca comme ca j'ai la flemme de faire la demo et j'ai pas de feuille sous la main de toute facon (et pis jeudi chui en vacances donc la chui en mode veille jusqu'a nouvelle ordre )

Ben c'etait pour faire plus rigoureux; quand on demande de prouver que A equivaut à B on montre d'abord A implique B puis la réciproque  

  Faux    
 
L'existence valable pour l'un ne l'est pas pour tous....(ex preuve par récurrence...)

 
Je ne vois pas de quoi tu parles, je sais pas où t'as vu une équivalence à montrer.
Dans ton premier message, tu n'as rien montré du tout je suis désolé.
 
Pour en revenir au problème, ça serait cool d'avoir un petit feedback de maxman.

Ou meme un ptit merci

L'énoncé est même imprécis.
 
Il existe un unique (a,b,c,d) tel que pour tout P dans E:=R³[X] on ait P(alpha) = a P(0)+bP(1)+cP(2)+dP(4), alpha=10000 ou autre chose.
 
En effet, soit E* le dual de E. E* est de dimension 4 et considérons les formes linéaires sur E définies par v_i(P)=P(i). La famille (v_0,v_1,v_2,v_4) est libre (suffit de prendre les bons polynômes pour le voir) donc forme une base de E* donc il existe un unique (a,b,c,d) tel que v_alpha=a v_0+b v_1+c v_2+d_v_4 d'où le résultat.
 
Conclusion: je me fais vraiment chiez ici...

 
C'est limpide
4 lignes et le tour est joué

on vous apprend tout ça a la fac

Y a pas que la fac hein