Bonjour à tous, alors voilà, je fais cet exercice, mais une partie de la première question me bloque, j'ai essayé tout un tas de méthodes 'récurrence,transitivité, raisonnement par l'absurde) mais jje n'y arrive pas...
 
Problème ou exercice: Pour tout n supérieur ou égal à 1, on pose u(n)=1!+2!+...+n!.  
On donne la décomposition en facteurs premiers des dix premiers termes de la suite (u(n)):  
u(1)=1  
u(2)=3  
u(3)=3^2  
u(4)=(3^2)x11  
u(5)=(3^2)x17  
u(6)=(3^2)x97  
u(7)=(3^4)x73  
u(8)=(3^2)x11x467  
u(9)=(3^2)x311x347  
u(10)=(3^2)x11x40787  
 
 
1.Montrer que u(n) n'est jamais divisible par 2, par 5 ni par 7  
2.Peut-on affirmer que u(n) est divisible par 11 à partir d'un certain rang?  
3.Peut-on affirmer que, à partir d'"un certain rang, u(n) est divisible par 3^2 mais pas par 3^3?  
 
j'ai déjà montré que u(n) n'est jamais divisible par 2, mais je n'y arrive pas pour 5 et 7.
j'ai également terminé la question 2
la question 3 me pose aussi problême, j'ai réussi à montrer que u(n) est divisible par 3^2 à partir du rang 3 (grace à une récurrence à partir de u(9)), mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est pas divisible par 3^3. Selon moi u(n) est divisible par 3^2 à partit du rang 3, mais il n'est divisible par 3^3 qu'à partir du rang 9.
 
Je voudrai que l'on m'éclaire s'il vous plaît...
Merci d'avance.

Bon...
 
u(n) = 1 + 2 + 3*2 + 4*3*2 + 5*4*3*2 + ..... + n!
 
Il est facile de voir que u(n) est toujours divisible par 3 car:
u(n) = 3 + 3*2 + 4*3*2 + ... n! = 3 ( 1 + 2 + 4*2 + ... + n!/3)
 
On peut aussi montrer que, pour n > 5:
u(n) = 1 + 2 + 3*2 + 4*3*2 + somme(k!, k=5..n) = 33 + somme(k!,k=5..n)
 
Comme somme(k!,k=5..n) est divisible par 5, alors u(n) est divisible par 5 si et seulement si 33 est divisible par 5, comme ce n'est pas le cas, u(n) n'est jamais divisible par 5.
 
Meme raisonement pour 7: si n > 7, u(n) = u(6) + somme(k!,k=7..n), or u(6) n'est pas divisible par 7.

et ps: u(4) = 3*11 et pas 3^2 * 11 comme indiqué

Et sinon, u(26) = 3^2 * 11 * 167 * 173 * 7823 * ....
Bref c'est pas divisible par 27.
Donc u(n) risque pas d'etre divisible par 27 a partir d'un certain rang

coucou cantor
je ne comprend pas lorsque tu écrit "somme(k!,k=7..n)"
en effet il y a une erreur sur u(4) ds l'énoncé (merci de me lavoir signalé je vais pouvoir incendier mon professeur...)
cependant pour u(26), en effet il n'est pas divisible par 27, mais rien ne dit qu'à partie du rang 1000 u(n) ne soit pas divisible par 27, ton résonnement ne marche que sur un exemple et je ne peux pas utiliser ce genre de renseignement comme preuve...

somme(k!,k=7..n) = 7! + 8! + .... + n!

Sinon pour u(26) :
T ok pour dire que a partir de k=27, il y a un facteur 27 dans chaque terme de ta somme ? Donc tu coupe ta somme en deux comme aux questions d'avant:
Pour n > 27, u(n) = u(26) + ( 27! + 28! + .... + n! )

Or ( 27! + 28! + .... + n! ) est clairement divisible par 27, il y a un facteur 27 dans chaque terme de la somme ok?
Donc pour que u(n) soit divisible par 27 il faut et suffit que u(26) soit divisible par 27. Ce qui n'est pas le cas.
Donc pour n > 27, 27 ne divise pas u(n)

 
Le raisonnement de cantor est parfaitement fondé.
 
Il utilise la propriété suivante :
 
Soient a,b,c entiers naturels;
si :
- a divise b
- a ne divise pas c
 
alors a ne divise pas b + c
 
 
 
Autrement dit, si tu as un nombre x dont tu veux montrer qu'il est pas divisible par y, tu peux essayer de trouver une décomposition de x en :
 
x = k * y + z, où z n'est pas divisible par y.
 
A ce moment-là, tu auras prouvé que x n'est jamais divisible par y.
 
 
Sinon, "somme( k! , k=7..n)" signifie "7! + 8! + ... + n!"
(En fait, de mémoire on utilise la même notation dans le logiciel de calcul formel MAPLE.)
 
edit : oups grilled, j'espère que mon message sert quand même

Si ca sert ta bien formalisé le théorème, d'ailleurs je sais plus si il porte un nom ?
 

d'accord, je pense avoir compris
merci cantor et alcaa pour votre aide.

 
Ben euh non je crois pas, en tout cas j'ai pas souvenir. Ca doit être un peu trop simple pour porter un nom