Bonjour, j'ai un devoir de mathématiques sur les nombres complexes. Cet exercice traite des vecteurs et du produit scalaire.  
 
J'ai beaucoup de mal, rien que pour la prmeière question... Je vous donne l'ennonce et à la suite ce que je sais déjà et la  
 
figure que j'ai faite sur géogébra.
 
Voici l'énnoncé (exo 160p292 du livre "maths obligatoire termiale S" nathan, collection hyperbole, programme 2002)
Les points H et O sont respectivements l'orthocentre et le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC.
I. Le point M est défini par OM=OA+OB+OC (ce sont tous des vecteurs)
a) Calculer AM.BC et BM.AC (vecteurs également)
b) En déduire que M=H
II. On se propose d'établir que les symétriques de H par rapport aux côtés du triangle appartiennent à C en utilisant les  
 
nombres complexes. Considérons e répère orthonormal (O;u,v) (u et v étant des vecteurs) où u=(1/BC)*BC (u est un vecteur et  
 
le dernier "BC" également). On note a,b,c les affixes respectives des points A,B,C dans ce repère.
a) Exprimer l'affixe h du point h en fonction de a,b et c.
b) h' est l'affixe du point H' symétrique de H par rapport à (BC).
Comparer les affixes de BH' et de BH (les deux sont des vecteurs)
En déduire que h'= a+b+c (il y a des barres horiontales sur a et b, ce qui signifie il me semble le conjugué des nombres  
 
complexes a et b)
c) Evaluer c+b et conclure (pareil, une barre horizontale sur c, donc le conjugué de c)
 
Voici la figure faite avec géogébra : http://sd-1.archive-host.com/membr [...] 60p292.ggb
 
Pour le produit scalaire je sais ceci, u et v étant des vecteurs :
u.v = 1/2 * ( ||u+v||² - ||u||² - ||v||² )
    = xx' + yy' (x et y étant les coordonnées de u et x' et y' celles de v)
    = ||u|| * ||v|| * cos(u,v)
 
Je connais également quelques règles de calculs, j'ai donc fait ceci mais ça ne sert strictement à rien... et je ne vois pas  
 
le lien avec la question b) lorsque l'on parle de H.
 
AM.BC = (AC+CB+BM).BC = BC.AC + BC.CB + BM.BC
 
BM.AC = (BC+CA+AM).AC = BC.AC + CA.AC + AM.AC
 
Si quelqu'un aurait une piste pour moi, une petite aide pour m'aider à avancer... car là je sèche étant donné que l'on n'a  
 
aucune info de longueur, d'angle, de coordonnée ou autre !
Merci d'avance !

Voila l'image en PNG pour ceux qui n'auraient pas géogébra
http://anonyme.archive-host.com/exo_j5bazdoa7b.png

J'ai finalement trouvé une piste !
Dire que M=H revient à dire que M est l'orthocentre donc que (AM) est la hauteur issue de A, de même (BM) la hauteur issue de B. Donc que (AM) est perpendiculaire à (BC) et (BM) perpendiculaire à (AC) donc que les deux produits scalaires AM.BC et BM.AC sont nuls !
 
J'ai donc commencé ce calcul :
AM.BC = (AO+OM).BC
= (AO+OA+OB+OC).BC
=(0+OB+OC).BC
Or OB=OB (rayons du cercle C) donc :
AM.BC = 2 OC.BC
= 2*OC*BC*cos(OCB) (angle géométrique)
 
Et là je comprends plus ! Car je veux un résultat égal à 0, or 2 est positif, OC et BC également puisque que ce sont des longeurs, et l'angle OCB n'est pas un angle droit donc son cosinus n'est pas égal à 0....
 
Je dois avoir faux quelque part ?