Salut j'ai un devoir de logique et je plante un peu sure 2-3 questions, voila pourquoi je suis ici :
 
1 - Montrer qu'il y a 2^2^n [2 à la puissance (2 à la puissance n)] tables de vérité différentes pour les propositions contenant n variables
 
2 - Combien de palindromes de longueur k peut-on former a partir d'un alphabet de n lettres ?
 
3 - Trouvez une formule pour le nombre de zéros qui se trouvent à la fin de l'expression n! en base 2.
 
4 - Même question que ci-dessus lorsque la base 10 est utilisée.
 
Merci de vos réponses.

 
 
1)  Dans sa réprésentation canonique, une table de vérité à n variables n'est autre qu'une application de {0,1} x {0,1} x ... x {0,1} (n fois) dans {0,1} donc le nombre  
     cherché est le cardinal de l'ensemble des applications définies sur En = {0,1} ^ n et à valeurs dans {0,1}. Notons E cet ensemble. Par définition, E est fini (puissance d'ensembles finis)  
     et son cardinal est tel que : Card(E) = Card ( {0,1} ) ^ Card ( En )= 2 ^ (2^n). Le nombre de tables de vérité à n variables est donc 2^(2^n).
 
2)  Il y a deux cas à distinguer, suivant la parité de k.
 
     Si k est paire, il existe p dans N tel que k = 2p.
     Pour déterminer un palindrome de longeur k, il faut déterminer exactement les p premiers symboles de celui-ci, les p derniers étant les p premiers lus dans l'ordre inverse.  
     Le nombre de palindromes de longueur k est donc le nombre de mots de longueur p, chacun des symboles étant choisi dans notre alphabet à n éléments. Il y en a donc :
     n ^ p = n ^ (k/2)
 
     Si k est impaire, il existe p dans N tel que k = 2p +1.
     Pour déterminer un palindrome de longeur k, il faut déterminer exactement les p +1 premiers symboles de celui-ci, les p derniers étant les p premiers lus dans l'ordre inverse.  
     Le nombre de palindromes de longeur k est donc le nombre de mots de longeur p + 1 de l'alphabet. Il y en a donc n ^ ( p +1 ) = n ^ (k/2 +1)
 
     En généralisant, le nombre de palindromes cherché est : n ^ ( k - E (k/2) ) ou E est la fonction partie entière.
 
3)  Le nombre de zéros qui termine n! (exprimé en base 2) est le nombre maximal de zéros qui termine l'écriture en base 2 d'un entier au plus égal à n... et je te laisse conjecturer  
     une formule.
 
 
4)  Je ne connais pas de formule toute faite simple, néanmoins, le nombre de zéros qui termine n! (exprimé en base 10) est le plus petit des coefficients associés à 2 et à 5 dans  
     la décomposition de n! en facteurs premiers. On peut démontrer assez facilement que si p est un facteur premier de n, alors l'exposant affecté à n! dans l'écriture précédente  
     est la somme indexée sur N* (i parcourt N*) des termes E(n/p^i) ou E désigne toujours la fonction partie entière. Ce résultat est connu sous le nom de formule de Legendre.  
     Une formule pourrait donc être Min( somme( E(n/2^i), i >= 1 ), somme( E(n/5^i), i >= 1 ) ).