Bonjour à tous!!!
 
Voila j'ai un examen dans pas longtemps, et je n'arrive pas à résoudre une partie de ce problème!!
 
le voici!!
 
soit k= -9 9 9
          -3 3 3
          -3 3 3
 
1- démontrer que 0 est valeur propre de k (sans caluculer le polynome caractéristique).
 Bon ça j'ai trouvé....
 
2- quel est le rang de k. ( ça j'ai également trouvé)
 
3- quelle est la dimension de E0, sous espace propre associé a la valeur propre 0?
( voici ce que je n'arrive pas a trouvé et mon cours n'est pas très explicite!!)
4- calculer KU avec U = 3
                                 1
                                 1
 
bon sa j'ai trouvé.
 
5- déterminer le polynôme caractéristique de K. ( sa j'ai trouvé)
 
6- en déduire les valeurs propres de k ainsi que leurs multiplicité respective ( sa je ne trouve pas)
 
7- Démontrer que la famille (uo, vo) avec uo= (1,1,0) et vo=(1,0,1) forme une base de Eo ( sa aussi je ne sais pas comment faire)
 
Voila c'est tout ( et c'est déja pas mal)
 
Merci d'avance!!!!

3 - la valeur propre 0 te donne un certain nombre de vecteurs propres (cas des racines doubles etc) donc la dimension qu'on te demande c'est surement le nombre de vecteurs propres associés à la valeur propre 0.
 
6 - si je me souviens bien il suffit de trouver les valeurs qui annulent le polynôme caractéristiques. Sachant que par exemple si tu as (x-1)², la valeur propre 1 est de multiplicité 2 etc
 
7 - Ton espace E0 tu as trouvé dans la 3 qu'il était de dimension 2 (0 est une racine double). De plus u0 et v0 sont indépendants (tu pose u0 = av0 et tu trouve que a n'existe pas) donc tu en déduis qu'ils forment une base de E0

merci, mais quelle est la méthode pour trouvé la dimension s'il te plait?

ben tu écris le fait que 0 est une valeur propre de k, ça tu sais faire. Ensuite tu résout et tu trouve un certain nombre de vecteurs propres. Ce nombre ben c'est la dimension de Eo