Urgent, Algébre, diagonalisation et notion sur les vecteurs

Urgent, Algébre, diagonalisation et notion sur les vecteurs - Aide aux devoirs - Emploi & Etudes

Marsh Posté le 04-05-2008 à 16:35:08    

Bonjour à tous!!!
 
Voila j'ai un examen dans pas longtemps, et je n'arrive pas à résoudre une partie de ce problème!!
 
le voici!!
 
soit k= -9 9 9
          -3 3 3
          -3 3 3
 
1- démontrer que 0 est valeur propre de k (sans caluculer le polynome caractéristique).
 Bon ça j'ai trouvé....
 
2- quel est le rang de k. ( ça j'ai également trouvé)
 
3- quelle est la dimension de E0, sous espace propre associé a la valeur propre 0?
( voici ce que je n'arrive pas a trouvé et mon cours n'est pas très explicite!!)
4- calculer KU avec U = 3
                                 1
                                 1
 
bon sa j'ai trouvé.
 
5- déterminer le polynôme caractéristique de K. ( sa j'ai trouvé)
 
6- en déduire les valeurs propres de k ainsi que leurs multiplicité respective ( sa je ne trouve pas)
 
7- Démontrer que la famille (uo, vo) avec uo= (1,1,0) et vo=(1,0,1) forme une base de Eo ( sa aussi je ne sais pas comment faire)
 
Voila c'est tout ( et c'est déja pas mal)
 
Merci d'avance!!!!

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Marsh Posté le 04-05-2008 à 16:35:08   

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Marsh Posté le 04-05-2008 à 16:52:39    

3 - la valeur propre 0 te donne un certain nombre de vecteurs propres (cas des racines doubles etc) donc la dimension qu'on te demande c'est surement le nombre de vecteurs propres associés à la valeur propre 0.
 
6 - si je me souviens bien il suffit de trouver les valeurs qui annulent le polynôme caractéristiques. Sachant que par exemple si tu as (x-1)², la valeur propre 1 est de multiplicité 2 etc
 
7 - Ton espace E0 tu as trouvé dans la 3 qu'il était de dimension 2 (0 est une racine double). De plus u0 et v0 sont indépendants (tu pose u0 = av0 et tu trouve que a n'existe pas) donc tu en déduis qu'ils forment une base de E0

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Marsh Posté le 04-05-2008 à 19:05:26    

merci, mais quelle est la méthode pour trouvé la dimension s'il te plait?

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Marsh Posté le 04-05-2008 à 19:24:35    

ben tu écris le fait que 0 est une valeur propre de k, ça tu sais faire. Ensuite tu résout et tu trouve un certain nombre de vecteurs propres. Ce nombre ben c'est la dimension de Eo

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