houlala mon prof de maths vient de me donner un problème à faire, il est super compliqué alors je demande votre aide !!! merci beaucoup!
 
Le premier but de ce devoir est de démontrer que le nombre réel √n, où n est un entier naturel, est toujours irrationnel, sauf bien sûr dans les cas où l’entier n est le carré d’un entier. Ce théorème peut être démontré de multiples manières ; la plus élémentaire, celle que nous allons découvrir ici, est due au grand mathématicien allemand Richard Dedekind, qui l’a donnée dans un livre qui a eu un impact énorme dans l’histoire des mathématiques, parce que pour la première fois un mathématicien y donnait une définition rigoureuse des nombres réels, et y perfectionnait la notion de grandeur continue donnée dans l’Antiquité par Aristote.
 
Commençons par une définition. La partie entière d’un nombre réel x est le nombre entier immédiatement inférieur ou égal à x ; on la note [x]. Ainsi par exemple, [1,4]= 1 ; [√13]=3 ou encore [2]=2.
Remarquons que de façon générale, on a l’encadrement : [x]< x <[x]+1 ; et que de plus pour avoir x= [x], il faut et il suffit que le nombre x soit entier : dans tous les cas où il ne l’est pas, on a [x]<x.
Revenons maintenant à la démonstration annoncée. Comme dans beaucoup de démonstrations d’irrationalité, on commence par supposer que le nombre considéré est rationnel, puis on en déduit une contradiction, et on conclut qu’en réalité, le nombre était irrationnel : on effectue ainsi un raisonnement par l’absurde.  
On suppose donc, dans tout ce qui suit, que n n’est pas un carré, de telle sorte que le nombre √n n’est pas entier, mais qu’en revanche le nombre √n est rationnel. On écrit alors √n = u/v où u et v sont deux entiers positifs premiers entre eux. La fraction u/v étant irréductible, ne peut plus être simplifiée ; en particulier le dénominateur a une valeur minimale.  
 
1. Considérons un entier positif k quelconque ; comme par hypothèse √n n’est pas entier, la différence racine de n-k est non nulle.  
Justifier alors que : √n = n – k√n / √n – k
En déduire l’égalité : √n = nv – ku / u – kv
 
2. On pose maintenant k=[√n].
3. Démontrer que 0 < u – kv <v
4. En déduire une contradiction avec l’hypothèse faite au point de départ du raisonnement. Conclusion ?

Dommage  

t'es pas dans la bonne cat...

t'as dû passer un temps dingue à taper tout ça
ca aurait été plus facile de le faire cet exo

bin nan perso j'y arrive pas du tout

Doublon. Topic clos.